একটি ক্রিকেট বল ভূমির সাথে সমান্তরাল রেখায় 20 মিঃ/সেঃ সমবেগে চলছে। কিছুক্ষণ পর হঠাৎ ব্যাট দ্বারা পূর্ববেগের সাথে সমকোণে আঘাত করায় বলটি 30 মিঃ/সেঃ বেগে চলতে থাকল। ব্যাটের আঘাতের ফলে ক্রিয়াশীল বেগের মান কত?

বলটির প্রাথমিক বেগ \( \vec{v_1} \) এবং চূড়ান্ত বেগ \( \vec{v_2} \)। ব্যাট দ্বারা ক্রিয়াশীল বেগ বা বেগের পরিবর্তনকে \( \vec{u} \) দ্বারা প্রকাশ করা যায়।

ভেক্টর যোগের সূত্রানুযায়ী, প্রাথমিক বেগের সাথে ক্রিয়াশীল বেগ যোগ করলে চূড়ান্ত বেগ পাওয়া যায়:

\[ \vec{v_1} + \vec{u} = \vec{v_2} \]

সুতরাং, ক্রিয়াশীল বেগ \( \vec{u} = \vec{v_2} - \vec{v_1} \)।

প্রশ্নে বলা হয়েছে, বলটি ভূমির সাথে সমান্তরাল রেখায় 20 মিঃ/সেঃ সমবেগে চলছিল, অর্থাৎ প্রাথমিক বেগের মান \( |\vec{v_1}| = v_1 = 20 \) মিঃ/সেঃ।

ব্যাট দ্বারা পূর্ববেগের সাথে সমকোণে আঘাত করায় বলটি 30 মিঃ/সেঃ বেগে চলতে থাকল, অর্থাৎ চূড়ান্ত বেগের মান \( |\vec{v_2}| = v_2 = 30 \) মিঃ/সেঃ।

এখানে "পূর্ববেগের সাথে সমকোণে আঘাত করায়" এর অর্থ হলো, ব্যাট কর্তৃক বলের ওপর ক্রিয়াশীল বেগের (বা বেগের পরিবর্তনের) দিকটি প্রাথমিক বেগের দিকের সাথে লম্ব বা 90 ডিগ্রি কোণে ছিল। অর্থাৎ, \( \vec{u} \) ভেক্টরটি \( \vec{v_1} \) ভেক্টরের উপর লম্ব।

যদি \( \vec{u} \) এবং \( \vec{v_1} \) পরস্পর লম্ব হয়, তবে তাদের ভেক্টর যোগফল \( \vec{v_2} \) এর মান পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করে নির্ণয় করা যায়:

\[ |\vec{v_2}|^2 = |\vec{v_1}|^2 + |\vec{u}|^2 \]

আমরা ক্রিয়াশীল বেগের মান \( |\vec{u}| \) নির্ণয় করতে চাই। সুতরাং, উপরের সমীকরণ থেকে পাই:

\[ |\vec{u}|^2 = |\vec{v_2}|^2 - |\vec{v_1}|^2 \]

মানগুলো বসিয়ে পাই:

\[ |\vec{u}|^2 = (30)^2 - (20)^2 \]

\[ |\vec{u}|^2 = 900 - 400 \]

\[ |\vec{u}|^2 = 500 \]

\[ |\vec{u}| = \sqrt{500} \]

\[ |\vec{u}| = \sqrt{100 \times 5} \]

\[ |\vec{u}| = 10\sqrt{5} \text{ মিঃ/সেঃ} \]

সুতরাং, ব্যাটের আঘাতের ফলে ক্রিয়াশীল বেগের মান \( 10\sqrt{5} \) মিঃ/সেঃ।